工作期间发生交通事故，关于精神损失费能否既向肇事者又向所在公司提出，需要分情况进行分析。

    向肇事者主张精神损失费

   在交通事故中，如果肇事者对事故负有责任，并且受害人因该事故遭受了严重的精神损害，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十三条规定，侵害自然人人身权益造成严重精神损害的，被侵权人有权请求精神损害赔偿。所以，受害人可以向肇事者主张精神损失费。通常严重精神损害一般指因侵权行为导致受害人残疾、死亡或者出现严重的精神障碍等情形。

    向所在公司主张精神损失费

    一般情况 ：工作期间发生交通事故，如果符合工伤认定条件，受害人与公司之间是基于工伤保险关系或劳动合同关系。工伤保险赔偿遵循的是无过错责任原则，主要赔偿项目包括医疗费、停工留薪期工资、伤残津贴等实际遭受的经济损失。而目前在工伤保险待遇中，并不包含精神损失费这一赔偿项目。所以，一般情况下不能依据工伤向公司主张精神损失费。

    特殊情况 ：如果公司存在故意或重大过失侵害员工人身权益的行为，例如公司明知车辆存在安全隐患仍要求员工驾驶，从而导致交通事故发生，此时员工可以基于侵权责任向公司主张精神损害赔偿。不过这种情况需要有充分的证据证明公司存在故意或重大过失的侵权行为。

   综上所述，在通常的工伤和交通事故竞合的情况下，精神损失费可以向肇事者主张，但一般不能向所在公司主张。只有在公司存在故意或重大过失侵权行为时，才可能向公司主张精神损失费。