私生子在遗嘱未提及的情况下，仍然有权分得财产，这主要基于其作为非婚生子女的法定继承权。以下是对此问题的详细分析：

一、非婚生子女的法定继承权

《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条明确规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。这一法律原则为非婚生子女的权益提供了坚实的保障。
《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条进一步规定了遗产的继承顺序，其中第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。该条款明确指出，本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。这意味着，在法定继承中，非婚生子女与婚生子女享有同等的地位，都有权继承被继承人的遗产。

二、遗嘱未提及非婚生子女的情形

1. 遗嘱继承与法定继承的关系：

• 若被继承人立有合法有效的遗嘱，并明确指定了遗产的分配方式，那么遗产将按照遗嘱进行分配。
• 若遗嘱中未提及非婚生子女的继承份额，且遗嘱未为缺乏劳动能力又没有生活来源的非婚生子女保留必要的遗产份额，这并不意味着非婚生子女就完全丧失了继承权。在此情况下，非婚生子女仍有权依据法定继承的规定，作为第一顺序继承人参与遗产的分配。但需注意，若遗嘱未为特定非婚生子女保留必要份额，该遗嘱可能因违反法律强制性规定而部分无效或引发法律争议。

2. 法定继承的适用：

• 在无遗嘱或遗嘱无效的情况下，遗产将按照法定继承的规则进行分配。
• 非婚生子女作为第一顺序继承人，将与其他第一顺序继承人（如婚生子女、配偶、父母）共同分配遗产。
• 原则上，同一顺序继承人的继承份额应当均等。但实际分配时，会综合考虑各继承人对被继承人所尽的扶养义务、生活状况、经济能力等因素进行适当调整。

三、证明亲子关系的重要性

非婚生子女在主张继承权时，必须提供充分的证据证明其与被继承人之间的亲子关系。这通常包括出生证明、DNA鉴定报告、被继承人承认亲子关系的书面材料或证人证言等。只有亲子关系得到法律确认，非婚生子女的继承权才能得到有效保障。若无法证明亲子关系，非婚生子女可能无法成功主张继承权。