当遇到没交强险的车被追尾且对方全责，但对方要求您支付一万八医药费的情况，您可以按以下步骤处理：

    确认事故责任

    查看事故认定书 ：首先要明确交通事故责任认定书的内容。既然您提到对方全责，那事故认定书中应清晰表明这一点。交通事故责任认定书是划分事故双方责任的重要依据，具有较高的证明力。如果还没有拿到事故认定书，应及时联系交警部门获取。

    责任复核 ：如果您对事故责任认定有异议，根据《道路交通事故处理程序规定》，可以自道路交通事故认定书送达之日起三日内，向上一级公安机关交通管理部门提出书面复核申请。复核申请应当载明复核请求及其理由和主要证据。

    分析对方要求的合理性

    确认费用真实性 ：要求对方提供相关的医疗费用凭证，如医院的诊断证明、病历、检查报告、费用清单、发票等，以此来核实一万八医药费的真实性和合理性。查看这些凭证时，要注意费用是否与本次交通事故造成的伤害相关，是否存在过度医疗的情况。

    判断责任归属 ：在对方全责的情况下，正常应由对方及其保险公司承担因事故造成的所有损失，包括医疗费。您没有缴纳交强险，按照法律规定，在交强险责任限额范围内您可能需要承担相应的赔偿责任，但这并不影响事故责任的划分。在本次事故中，对方全责意味着其应承担主要的赔偿义务。

    与对方沟通协商

    说明情况 ：与对方进行沟通，向其解释事故责任认定的结果，表明对方全责的情况下应由其承担医药费。同时，也坦诚说明自己未缴纳交强险的情况，但强调这与本次事故责任的承担没有直接关联。

    提出解决方案 ：如果对方存在误解，您可以协助其联系其保险公司进行理赔。若对方确实经济困难，在合理范围内，您可以考虑出于人道主义给予一定的帮助，但这并非法律强制要求。

    寻求交警部门调解

    申请调解 ：如果与对方沟通协商无果，可以请求交警部门介入调解。交警部门在处理交通事故方面有丰富的经验，能够依据事故责任认定和相关法律法规，对赔偿问题进行调解。

    参与调解 ：在调解过程中，您要如实陈述事故经过和您的观点，提供相关证据支持自己的主张。同时，也要认真听取对方的意见和诉求，争取通过调解达成双方都能接受的赔偿方案。

    考虑法律途径

    咨询律师 ：如果交警部门调解仍无法解决问题，您可以咨询专业律师，了解自己在这种情况下的权利和义务，以及可能面临的法律后果。律师会根据具体情况为您提供专业的法律建议和解决方案。

    提起诉讼 ：如果对方坚持不合理的要求，甚至采取威胁、骚扰等手段，您可以考虑向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。在诉讼过程中，要按照法院的要求提供证据，积极参与庭审，配合法院的审理工作。

   总之，在处理这起纠纷时，要保持冷静，依据事实和法律，合理维护自己的权益。