交了500元律师费但未签合同且律师未办任何事，是否可以退钱的问题，需从多个角度进行分析。

一、是否形成委托关系

1. 未签订书面合同的情况：
   • 若支付了律师费但双方未签订书面合同，且律师尚未提供任何服务，如调查取证、参与协商或诉讼等，则双方的委托代理关系可能并未正式确立。
   • 根据《民法典》的相关规定，即使没有明确的书面合同，只要双方的行为能够推断出订立合同的意愿，法院仍可认定合同以“其他形式”存在。然而，在未提供任何服务且未签订书面合同的情况下，这种推断可能不成立。
2. 已部分履行服务的情况：
   • 若律师已经按照要求开展了部分工作，如案件分析、文书起草等，则律师有权就已经提供的服务收取相应费用。
   • 在此情况下，可能无法全额退还律师费，具体退还金额需根据律师实际完成的工作量来确定。

二、律师是否存在过错

1. 律师存在过错的情况：
   • 即使未签订合同，若律师在服务过程中存在明显过错，如违反职业道德、未能履行基本职责、泄露隐私信息或因重大失误导致案件陷入不利局面，可以要求退还律师费，并可能获得全额退款或扣除少量费用后的退款。
2. 律师无过错的情况：
   • 若律师未提供服务且不存在过错，而仅因未签订书面合同，则有权要求全额退还律师费。

三、双方协商与解决途径

1. 协商解决：
   • 与律师事务所进行沟通协商是解决此类问题的理想方式。若双方能就退款事宜达成一致，无论是全额还是部分退款，均应按协商结果执行。
2. 向律师协会或司法行政部门反映：
   • 若协商无果，可以向当地的律师协会或司法行政部门反映情况，请求他们介入调解。
3. 诉讼途径：
   • 若上述途径均无法解决问题，可以考虑通过诉讼途径来维护自己的权益。法院将根据具体情况判定是否应当退费以及退费的金额。

四、法律依据

• 根据《民法典》的相关规定，即使没有明确的书面合同，只要双方的行为能够推断出订立合同的意愿，法院仍可认定合同以“其他形式”存在。但在此情况下，若律师未提供任何服务，则这种推断可能不成立。
• 若一方无正当理由占有对方交付的款项，构成不当得利，受损方有权要求其返还取得的利益。