因虚开发票被牵连的私人账号，将面临税务稽查、行政处罚及可能的刑事责任。具体处理流程与后果如下：

一、税务稽查与行政处罚

1. 税务稽查：税务机关在发现虚开发票行为后，会启动税务稽查程序，核实相关情况，包括私人账号的资金往来、发票开具情况等。
2. 行政处罚：经查实存在虚开发票行为的，税务机关将依法作出行政处罚决定。根据《中华人民共和国发票管理办法》相关规定，虚开发票的，由税务机关没收违法所得；虚开金额在1万元以下的，可以并处5万元以下的罚款；虚开金额超过1万元的，并处5万元以上50万元以下的罚款。

二、刑事责任追究

1. 涉嫌犯罪移送：若虚开发票行为涉嫌犯罪，如虚开增值税专用发票或用于骗取出口退税、抵扣税款的其他发票，且达到刑事立案标准，税务机关将案件移送司法机关处理。
2. 刑事处罚：根据《中华人民共和国刑法》第二百零五条，虚开上述发票的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处二万元以上二十万元以下罚金；虚开的税款数额较大或有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处五万元以上五十万元以下罚金；虚开的税款数额巨大或有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或无期徒刑，并处五万元以上五十万元以下罚金或没收财产。对于虚开普通发票且情节严重的，也可能面临二年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；情节特别严重的，处二年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。

三、私人账号处理建议

1. 配合调查：在税务稽查或司法调查过程中，应积极配合，提供相关资料和证据，如银行流水、合同、发票等，以证明自身清白或减轻责任。
2. 法律咨询：及时咨询专业律师，了解自身权利和义务，以及可能面临的法律后果，制定合适的应对策略。