当购买的鞋子存在问题，而商家仅提供维修服务不支持退款时，消费者可依据《中华人民共和国消费者权益保护法》第二十四条来维护自身权益。具体处理方式如下：
一、了解法律规定

• 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》第二十四条，若经营者提供的商品不符合质量要求，消费者有权要求退货、更换或修理。没有国家规定和当事人约定的，消费者可以自收到商品之日起七日内退货；七日后符合法定解除合同条件的，消费者可以及时退货，不符合法定解除合同条件的，可以要求经营者履行更换、修理等义务。
  二、与商家协商
• 保留证据：首先，消费者应保留好购买凭证、鞋子存在问题的照片或视频等证据。
• 明确诉求：与商家沟通时，应明确表达要求退货的意愿，并指出鞋子存在的质量问题。
• 引用法律：向商家说明，根据法律规定，消费者有权要求退货，而不仅仅是维修。
  三、寻求第三方帮助
• 平台投诉：若是在线上平台购买，可向平台投诉，提供证据并请求平台介入处理。
• 消费者协会：拨打12315消费者投诉举报专线或通过全国12315平台进行投诉，消费者协会将协助调解。
• 行政投诉：向当地市场监督管理部门投诉，由其进行调查并可能采取行政措施。
  四、法律途径
• 发送律师函：委托律师发送律师函给商家，指出其违法行为及可能的法律后果。
• 提起诉讼：若其他途径均无法解决问题，可向法院提起诉讼，要求商家承担退货责任并赔偿相关损失。