建筑工程公司中标后未签订合同或违规转包，将面临多重法律后果，具体分析如下：

一、未签订书面合同的后果

1. 合同关系不成立风险：根据《民法典》第四百九十条，合同需双方签字、盖章或按指印时成立，或一方履行主要义务且对方接受时成立。若中标后未签订书面合同，可能因无法证明实际履约行为而面临法律关系不明确的风险。
2. 行政监管处罚：依据《招标投标法》第四十六条，招标人和中标人应自中标通知书发出之日起三十日内订立书面合同。逾期未签，可能被责令改正，并处以项目金额5‰以上10‰以下的罚款。
3. 经济与项目管理风险：未锁定单价、总价或质量标准等条款，可能导致成本失控、进度延误或质量隐患。例如，承包方可能以市场波动为由要求调价，或降低工艺标准，引发纠纷。

二、违规转包的后果

1. 转包合同无效：依据《最高人民法院关于审理建设工程施工合同纠纷案件适用法律问题的解释（一）》及《建筑法》相关规定，承包人转包的建设工程施工合同应被认定为无效，转包方可能无法依据合同主张权利。
2. 行政处罚：转包行为将面临责令改正、没收违法所得，并处工程合同价款0.5%至1%的罚款。情节严重的，可能被责令停业整顿、降低资质等级，甚至吊销资质证书。
3. 民事连带责任：转包后，若实际施工人导致工程质量问题，转包人、违法分包人及实际施工人均需对建设工程质量承担连带责任，共同赔偿损失。