面对欠债人声称自己逾期多张卡的情况，可采取以下措施来应对：

一、全面梳理债务情况

1. 详细记录每张卡的欠款：包括欠款金额、利率、还款日等关键信息，以便全面了解负债状况。
2. 计算总负债及利息成本：汇总所有信用卡的欠款总额及可能产生的利息、违约金等，为后续还款计划提供依据。

二、与银行积极沟通协商

1. 主动联系银行：在逾期前或刚逾期时，即刻与发卡银行取得联系，说明自身经济状况及还款意愿。
2. 申请个性化分期还款：依据《商业银行信用卡业务监督管理办法（2011年版）》第七十条，若欠款金额超出还款能力且仍有还款意愿，可与银行平等协商，达成个性化分期还款协议，最长分期期限不超过5年。协议内容应涵盖欠款余额、还款周期、方式等关键要素。
3. 考虑停息挂账：在特定条件下，可尝试与银行协商暂停计息，将欠款挂账处理，以减轻短期还款压力。

三、制定并执行还款计划

1. 确定还款顺序：优先偿还金额较小或利率较高的信用卡欠款，以降低还款成本及逾期风险。
2. 严格执行还款计划：根据与银行协商的结果，制定详细还款计划并严格执行，确保按时足额还款。
3. 调整消费习惯与增加收入：削减非必要开支，增加收入来源，以更快偿还债务。

四、寻求专业帮助与保护个人信用

1. 咨询金融顾问或律师：若无法独立处理债务问题，可寻求专业帮助以获取更具体的建议和方案。
2. 保护个人信用记录：尽量避免逾期还款对个人信用造成不良影响，影响未来贷款和信用卡申请。