遗体捐赠者死后，其债务由其遗产承担，继承人以所得遗产实际价值为限清偿债务。具体分析如下：
一、遗产承担债务的基本原则

1. 遗产清偿债务：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。这意味着，遗体捐赠者死后，其债务应首先由其遗产来承担。
2. 超出遗产价值部分：若遗产实际价值不足以清偿全部债务，超出部分继承人无需承担，除非继承人自愿偿还。
   二、特殊情况下的债务承担
3. 夫妻共同债务：若债务属于夫妻共同债务，即夫妻双方共同签名或一方事后追认，以及一方为家庭日常生活需要所负的债务，根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十四条，即使一方去世，另一方仍需承担连带清偿责任。
4. 放弃继承的情况：若继承人选择放弃继承，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条，其对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。