公司辞退未签订劳动合同的员工，需根据具体情况承担相应的赔偿责任，包括未签劳动合同的双倍工资及可能的违法解除劳动关系赔偿金。具体分析如下：

一、未签订书面劳动合同的法律责任

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。计算期间为用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日或满一年当日（视为无固定期限劳动合同），最长不超过11个月。计算基数为劳动者正常出勤的应发工资，不包括加班工资、非常规性奖金等。

二、违法解除劳动关系的赔偿责任

若公司无故辞退员工，且该行为被认定为违法解除劳动关系，则需按照《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除前十二个月的平均工资。

三、合法解除且无需赔偿的情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若员工存在以下情形之一，如试用期间不符合录用条件、严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等，用人单位可以合法辞退员工，无需支付经济补偿金或赔偿金，同时，若符合第八十二条情形，仍需支付未签劳动合同的双倍工资：

1. 试用期间被证明不符合录用条件；
2. 严重违反用人单位的规章制度；
3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
4. 其他法定可辞退情形。