大学教师编外人员合同到期后的处理方式主要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，具体如下：
一、合同终止

• 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第一项，劳动合同期满的，劳动合同终止。若大学与编外教师双方或其中一方无意续签，合同到期即自然终止。
• 处理流程：合同终止时，大学应为编外教师办理离职手续，包括结清工资、奖金等劳动报酬，并出具离职证明。
  二、经济补偿
• 补偿条件：除大学维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而编外教师不同意续订的情形外，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项，大学应向编外教师支付经济补偿。
• 补偿标准：经济补偿按编外教师在大学工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
  三、合同续签
• 协商续签：若双方均有意愿继续合作，应在合同期满前进行协商，并遵循平等自愿、协商一致的原则续签劳动合同。
• 续签流程：双方就续签合同的各项条款进行协商，达成一致后拟定新的合同文本，并按照规定程序签订新的劳动合同。