以虚开发票单位名义赠送礼金的行为，若涉及向国家工作人员行贿，则构成违法，可能触犯行贿罪。以下是对此问题的详细分析：
一、行贿罪的构成

1. 定义与行为：根据《中华人民共和国刑法》第三百八十九条，为谋取不正当利益，给予国家工作人员以财物的，是行贿罪。若以虚开发票单位名义赠送礼金，且目的是为谋取不正当利益，则符合行贿罪的构成要件。
2. 法律责任：依据《中华人民共和国刑法》第三百九十条，犯行贿罪的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金；情节严重的，或使国家利益遭受重大损失的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；情节特别严重的，或使国家利益遭受特别重大损失的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。
   二、单位行贿的特别规定
3. 单位行贿罪：若单位以虚开发票名义赠送礼金，且目的是为谋取不正当利益，则单位及直接负责的主管人员和其他直接责任人员均可能构成单位行贿罪。依据《中华人民共和国刑法》第三百九十条之一，单位犯行贿罪的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金。
4. 从重处罚情形：若行贿行为具有多次行贿、向多人行贿、在国家重点工程中行贿等特定情形，将从重处罚。
   三、其他相关法律责任
5. 虚开发票的法律责任：虚开发票本身即构成违法行为，可能触犯虚开发票罪或其他相关税务法律法规，需承担相应的法律责任。
6. 民事法律责任：若因虚开发票或行贿行为导致合同无效、民事纠纷等，还需承担相应的民事法律责任。