民办幼儿园私自和老师签订的各种协议，只要符合法律规定，即具有法律效力。以下是对此问题的详细分析：
一、协议有效的基本条件

1. 行为人具有相应的民事行为能力：民办幼儿园作为法人组织，具备签订协议的民事行为能力；老师作为完全民事行为能力人（年满18周岁且精神健康），也有能力签订协议。
2. 意思表示真实：协议必须是双方自愿达成的，不存在欺诈、胁迫等情形。
3. 不违反法律法规的强制性规定，不违背公序良俗：协议内容必须合法，不得损害国家利益、社会公共利益和他人合法权益。例如，协议中不得包含违反《中华人民共和国劳动法》关于工作时间、工资支付等强制性规定的内容。
4. 符合法定的形式要求：对于需要采用书面形式的协议，如劳动合同，必须采用书面形式。根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。
   二、可能影响协议效力的情形
5. 无效情形：若协议内容违反法律、行政法规的强制性规定或违背公序良俗，则协议无效。例如，协议中约定老师需承担不合理的赔偿责任或放弃法定权益等。
6. 可撤销情形：若协议存在重大误解、欺诈、胁迫或显失公平等情形，受损害方有权请求撤销协议。例如，幼儿园利用优势地位迫使老师签订不公平的协议。
7. 效力待定情形：若老师为限制民事行为能力人（如未满18周岁但以自己的劳动收入为主要生活来源的未成年人除外），其实施的非纯获利益或非与其年龄、智力相适应的民事法律行为，需经法定代理人同意或追认后有效。