未签订护工合同且护工不交税、不给发票时，可采取以下措施：

一、明确法律关系与责任

1. 未签合同不影响事实劳动关系：根据《中华人民共和国劳动合同法》相关规定，即使未签订书面合同，只要存在事实劳动关系，雇主与护工之间的权利义务关系仍受法律保护。雇主应要求护工提供服务，并支付相应报酬。
2. 护工纳税义务：护工作为提供劳务的个人，其收入属于个人所得税的应税项目。根据《中华人民共和国个人所得税法》，护工有义务就其收入申报并缴纳个人所得税。

二、处理无发票问题的措施

1. 与护工协商：首先尝试与护工沟通，说明提供发票是其法律义务，也是雇主报销或财务处理的必要凭证。要求护工尽快补开发票或提供其他合法有效的费用凭证。
2. 收集替代性证据：若护工无法提供发票，应收集其他能够证明费用支出的证据，如服务记录、支付凭证（如银行转账记录、微信支付记录等）、护工身份证明及资质证书复印件等。这些证据在后续处理中可能起到关键作用。
3. 向税务部门举报：若护工拒绝交税且不提供发票，可向当地税务部门举报其违法行为。税务部门将依法进行调查处理，并可能要求护工补缴税款及滞纳金。

三、预防未来纠纷的建议

1. 签订书面合同：未来雇佣护工时，务必签订书面合同，明确双方的权利义务、服务内容、报酬支付方式及发票提供等条款。
2. 选择正规机构：优先考虑通过正规家政服务公司雇佣护工，这些公司通常能够提供规范的合同和发票，减少后续纠纷的风险。