公安机关刑事拘留后发现其他机关管辖的新罪，应按以下步骤处理：
一、立即报告与立案

1. 报告：公安机关在刑事拘留期间发现犯罪嫌疑人还有其他机关管辖的新罪时，应立即将相关情况报告给有管辖权的机关，如监察委、检察院或其他公安机关，确保及时启动新罪的侦查程序。
2. 立案：有管辖权的机关在接到报告后，若认为符合立案条件，应依法对新罪进行立案侦查，收集相关证据材料。
   二、侦查与证据收集
3. 侦查：立案后，有管辖权的机关应依法对新罪进行侦查，包括讯问犯罪嫌疑人、询问证人、勘验检查、搜查等，以查明犯罪事实。
4. 证据收集：在侦查过程中，应注重收集与新罪相关的物证、书证、视听资料等证据，确保案件事实清楚，证据确实充分。
   三、移送审查起诉与审判
5. 移送审查起诉：侦查终结后，若认为犯罪事实清楚，证据确实充分，应将案件移送检察院审查起诉。
6. 审判与数罪并罚：法院在审理过程中，若发现犯罪嫌疑人存在未被判决的新罪，应依法进行审判。根据《中华人民共和国刑法》第七十条与第六十九条的规定，对新罪作出判决后，将前后两个判决所判处的刑罚进行数罪并罚，决定执行的刑罚。