打架报警后，不能直接就刑事案件部分向法院起诉，但可就民事赔偿部分直接起诉，同时可通过法定程序要求公安机关履行职责。具体分析如下：
一、刑事案件部分

1. 公安机关的职责：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十条，公安机关对于报案、控告、举报的材料，应当按照管辖范围，迅速进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任的时候，应当立案。因此，打架报警后，应由公安机关先行调查处理，当事人不能直接向法院起诉要求追究刑事责任。
2. 对公安机关不处理的救济途径：若公安机关不予立案，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条，控告人如果不服，可以申请复议。此外，还可向人民检察院提出申诉，请求监督公安机关依法立案。
   二、民事赔偿部分
3. 可以直接起诉：若打架行为导致当事人遭受人身伤害或财产损失，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿相关费用。因此，当事人有权就民事赔偿部分向法院提起民事诉讼。
4. 起诉流程：准备起诉状及相关证据材料（如医疗诊断证明、费用清单等），提交至有管辖权的人民法院（通常是被告住所地或侵权行为地的基层人民法院），法院审查后，符合立案条件的将受理并通知缴纳诉讼费。