母亲把孩子丢给爸爸一般不构成遗弃罪。具体分析如下：

1. 遗弃罪的定义与构成
   • 遗弃罪是指负有扶养义务的人，对年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人拒绝抚养，情节恶劣的行为。
   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条，对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
2. 母亲把孩子丢给爸爸的行为分析
   • 母亲和父亲都对孩子负有扶养义务。当母亲把孩子丢给父亲时，孩子并未处于无人扶养的状态。
   • 如果父亲有能力并且实际上在履行扶养义务，那么孩子的基本生活需求得到了保障，母亲的行为就不构成遗弃罪。
3. 特殊情况的考虑
   • 如果父亲没有扶养能力或者拒绝扶养，而母亲明知这一情况却仍然将孩子丢给父亲，导致孩子处于无人扶养或者生活陷入困境的状态，那么母亲的行为可能构成遗弃罪。
   • 另外，如果母亲在丢下孩子后，长时间不闻不问，也不提供任何经济支持或情感关怀，且孩子的生活因此受到了严重影响，那么母亲的行为也可能被视为遗弃行为，情节严重的可能构成遗弃罪。
     综上所述，母亲把孩子丢给爸爸一般不构成遗弃罪，但需要考虑父亲是否有扶养能力以及母亲在丢下孩子后的行为表现。如果孩子的扶养得到了保障，母亲的行为就不构成遗弃罪；如果孩子的扶养未得到保障，且母亲的行为情节恶劣，那么可能构成遗弃罪。