在法律上，父子关系是无法断绝的。以下是对此问题的详细分析：

1. 父子关系的法律性质
   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母与子女之间的亲属关系是基于血缘形成的自然血亲关系。
   • 这种关系因出生而产生，因死亡而消灭，不能通过法律手段人为地予以断绝。
2. 法律对父子关系的保护
   • 《中华人民共和国民法典》第二十六条明确规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务，成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。
   • 这表明，无论是父母还是子女，都承担着法定的责任和义务，这些义务不能因双方意愿而解除。
3. 断绝父子关系的无效性
   • 从法律角度讲，亲子关系是不能自认而解除的，所以无法做到申请法律上断绝父子关系。
   • 即使双方同意，或者通过登报声明、双方协议等方式尝试断绝关系，这些行为在法律上都是无效的。
   • 父子关系在法律上始终存在，双方都应履行各自的法律义务。
4. 特殊情况下的父子关系
   • 唯一可能使父子关系在法律上发生变化的情况是收养关系的成立。
   • 如果未成年人被他人收养，根据法律规定，其与亲生父母的关系会因收养关系的成立而消除。
   • 但这种情况并不等同于断绝父子关系，而是基于法律程序产生的收养关系导致的亲属关系变更。
     综上所述，父子关系在法律上是无法断绝的。双方应珍惜彼此之间的亲属关系，履行各自的法律义务，共同维护家庭和谐与稳定。