在增加抚养费的案件中，开完第一庭没有当庭宣判并要求被告提交收入证明后，是否会再次开庭取决于案件的具体情况。

1. 可能再次开庭的情况：

• 证据需要进一步审查：若被告提交的收入证明或其他相关证据存在疑问，或法院认为需要更多证据来支持判决，法院可能会安排再次开庭，以便对证据进行详细审查和质证。
• 双方争议较大：若双方在抚养费增加的数额、支付方式等方面存在较大分歧，法院可能会安排再次开庭，以便双方能够充分陈述自己的观点和理由，并进行进一步的辩论。

2. 可能不再次开庭的情况：

• 证据充分且无争议：若被告提交的收入证明清晰明确，且双方对其他相关事实无争议，法院可能认为无需再次开庭，直接根据现有证据作出判决。
• 法院认为无需进一步调查：若法院认为现有证据已经足够支持判决，且无需进一步调查核实，那么法院可能不会安排再次开庭，而是直接作出判决。
  无论是否再次开庭，法院都会根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，确保当事人的合法权益得到保障。 如果再次开庭，法院会提前通知当事人，并告知开庭的时间、地点等相关事项。