子女是否有权探视被送养老院的父亲，需视具体情况而定，主要取决于是否存在收养关系以及收养协议中的具体约定。以下从不同情况进行分析：

一、不存在收养关系的情况

在不存在收养关系的情况下，子女与父亲之间仍保持着法律上的亲子关系，这种关系不因父亲被送入养老院而消除。因此，子女通常享有对父亲的探视权。这一权利是基于亲子关系的自然属性，也是法律所保护的基本人权之一。子女探视父亲，不仅有助于维护亲子关系的和谐，也有利于父亲的身心健康。

二、存在收养关系的情况

如果父亲被他人收养，那么子女与父亲之间的法律关系将发生重大变化。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百一十一条的规定：“自收养关系成立之日起，养父母与养子女间的权利义务关系，适用本法关于父母子女关系的规定；养子女与养父母的近亲属间的权利义务关系，适用本法关于子女与父母的近亲属关系的规定。养子女与生父母以及其他近亲属间的权利义务关系，因收养关系的成立而消除。”这意味着，一旦收养关系成立，子女与父亲之间的法律关系将终止，子女通常不再享有对父亲的探视权。
然而，在存在收养关系的情况下，子女是否享有探视权，还需考虑收养协议中的具体约定。具体来说：

1. 收养协议中明确约定探视权：如果收养协议中明确规定了子女享有探视权，那么子女可以依据此协议行使探视权。这种约定体现了双方的意愿和协商结果，具有法律效力。在行使探视权时，子女应遵守协议约定的时间和方式，不得干扰父亲和养父母的正常生活。
2. 收养协议中禁止或未明确探视权：若收养协议中明确禁止子女行使探视权，或者未对探视权作出明确规定，那么子女是否享有探视权将取决于实际情况和对父亲及养父母关系的影响。在这种情况下，如果子女的探视行为不会对父亲与养父母的关系造成负面影响，且双方能够就此达成共识，子女仍有可能获得一定的探视机会。但如果探视行为导致父亲与养父母关系紧张或恶化，养父母有权拒绝子女的探视请求。

三、特殊情况下的考虑

除了上述两种情况外，还有一些特殊情况需要考虑。例如，如果父亲因年老体弱、精神疾病等原因无法独立表达意愿，或者收养关系存在争议等，子女是否享有探视权可能需要通过法律途径进行解决。在这种情况下，法院将根据具体情况和子女的最佳利益原则进行判断和裁决。