要证明母子关系，可以通过以下几种方式和材料：
一、户籍档案
户籍档案是记录个人及家庭成员基本信息的官方文件，如果母亲和儿子的信息在同一户籍档案中，那么这份档案就可以作为证明母子关系的有效材料。
二、医学出生证明
医学出生证明是记录新生儿出生信息以及父母信息的官方文件。该文件上通常会列明新生儿的父母姓名，因此可以作为证明母子关系的重要材料。
三、人事档案
如果母亲或儿子的人事档案中有关于家庭成员的记录，特别是关于母子关系的记录，那么这些档案也可以作为证明母子关系的材料。但需要注意的是，人事档案可能并不总是包含这类信息，因此其可用性可能因情况而异。
四、亲子鉴定
亲子鉴定是通过科学手段确定父母与子女之间亲缘关系的方法。如果其他证明材料不足或存在争议，亲子鉴定可以作为一种有效的补充证明方式。但需要注意的是，亲子鉴定需要在专业的鉴定机构进行，并遵循相关的法律程序。
五、当地派出所开具的证明
在某些情况下，如果需要官方出具的母子关系证明，可以向当地派出所申请。申请时需要提供相关的身份证明和其他必要的材料，如户口本、身份证等。派出所会根据申请人提供的信息进行核实，并出具相应的证明文件。
综上所述，证明母子关系可以通过户籍档案、医学出生证明、人事档案、亲子鉴定以及当地派出所开具的证明等多种方式和材料。具体需要哪种材料或方式，应根据实际情况和需要进行选择。