遗嘱继承权公证应由公证机构办理，具体分析如下：
一、公证机构的确定
根据《中华人民共和国公证法》第十一条，公证机构负责办理包括遗嘱在内的多种公证事项。遗嘱公证应由遗嘱人住所地、经常居住地、遗嘱行为发生地或事实发生地的公证机构办理。遗嘱人可根据自身情况，选择最便利的公证机构提出申请。
二、公证机构的性质与职责

1. 非营利性：公证机构不以营利为目的，独立行使公证职能，承担民事责任，确保遗嘱公证的公正性和客观性。
2. 证明职能：公证机构的核心职能是审查遗嘱的真实性和合法性，包括遗嘱人的身份、民事行为能力、遗嘱内容的真实意愿及是否符合法律规定的形式要件等，并出具公证书。
   三、遗嘱公证的申请流程
3. 申请与受理：遗嘱人需向选定的公证机构提出申请，并提交身份证、户口簿、遗嘱涉及的财产权属证明等材料。公证机构审查无误后受理申请。
4. 审查与核实：公证机构对遗嘱的真实性、合法性进行审查，可能要求遗嘱人提供额外证据或进行调查核实，确保遗嘱符合法律规定。
5. 出具公证书：审查核实无误后，公证机构按法定程序出具公证书，证明遗嘱的真实性和合法性。