监护人可能构成的罪名主要包括虐待罪和遗弃罪，具体构成条件及刑罚如下：
一、虐待罪

1. 构成条件：根据《中华人民共和国刑法》第二百六十条，监护人若对被监护的未成年人、老年人、患病的人、残疾人等进行肉体上或精神上的摧残、折磨，且情节恶劣，即构成虐待罪。
2. 刑罚：虐待家庭成员，情节恶劣的，处二年以下有期徒刑、拘役或者管制。若致使被害人重伤、死亡，则处二年以上七年以下有期徒刑。
3. 特殊情形：对于对未成年人、老年人、患病的人、残疾人等负有监护、看护职责的人虐待被监护、看护的人，情节恶劣的，同样依据上述条款处罚，但处三年以下有期徒刑或者拘役。
   二、遗弃罪
4. 构成条件：依据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条，监护人若对年幼、患病或其他没有独立生活能力的人负有扶养义务而拒绝扶养，且情节恶劣，即构成遗弃罪。
5. 刑罚：对于构成遗弃罪的监护人，可处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
   三、其他可能构成的犯罪
   除虐待罪和遗弃罪外，监护人还可能因利用监护地位实施其他犯罪行为，如强奸、猥亵等性侵害犯罪，或盗窃、诈骗等财产犯罪，而构成相应的犯罪，并受到相应的刑事处罚。