私自毁坏他人核桃树，需承担民事、行政及可能的刑事责任。具体处理方式如下：
一、民事责任

1. 赔偿损失：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。赔偿金额需综合考虑核桃树的市场价值、树龄、产量及特殊价值（如珍稀品种、科研价值）等因素。
2. 赔偿流程：建议首先与核桃树所有者协商赔偿事宜，若协商无果，可请求当地林业部门、人民调解委员会等第三方机构进行调解，或依法向人民法院提起民事诉讼。
   二、行政责任
3. 补种树木：依据《中华人民共和国森林法》及相关规定，私自毁坏他人树木，林业主管部门可责令补种树木，以弥补森林资源损失。
4. 罚款处罚：除补种外，还可能面临罚款，罚款金额根据毁坏树木的数量、树种及价值等因素确定。
   三、刑事责任
5. 盗伐林木罪：若私自毁坏行为严重，数量较大，可能构成盗伐林木罪。根据《中华人民共和国刑法》第三百四十五条，盗伐森林或者其他林木，数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。
6. 特殊情形：若毁坏的是国家级自然保护区内的核桃树，将从重处罚。