租客把厨房烧坏了，房东可按以下步骤进行索赔：
一、明确责任归属

1. 租客责任：根据《中华人民共和国民法典》第七百一十四条，承租人应当妥善保管租赁物，因保管不善造成租赁物毁损的，应当承担赔偿责任。若租客因故意或过失（如违规使用明火、私拉乱接电线等）导致厨房烧坏，租客需承担赔偿责任。
2. 房东责任：根据《中华人民共和国民法典》第七百零八条，出租人应当按照约定将租赁物交付承租人，并在租赁期限内保持租赁物符合约定的用途。若厨房烧坏是由于房屋本身存在质量问题（如电气线路老化）且房东未履行维修义务，则损失由房东自行承担。
   二、收集证据
3. 火灾事故认定书：及时向消防部门报案，获取火灾事故认定书，作为确定火灾责任的重要依据。
4. 房屋受损证据：通过拍照、录像等方式记录厨房受损情况，并保留相关购物发票、装修合同等，以证明受损物品的价值和装修费用。
   三、计算赔偿金额与协商赔偿
5. 赔偿金额计算：赔偿金额应包括房屋修复费用、屋内物品损失等。可请专业评估机构或装修公司评估修复费用，根据购物发票等证据确定受损物品价值。
6. 与租客协商：与租客取得联系，说明情况，提出赔偿要求，并展示收集到的证据。尝试达成双方接受的赔偿方案，如有争议，可共同委托评估机构进行评估。
   四、法律途径解决
   若协商不成，房东可向人民法院提起诉讼，要求租客承担赔偿责任。