在公共场所无凭无据无端持续侮辱诽谤另一方且拒不停止，引发冲突时，主要责任应由实施侮辱诽谤行为的一方承担。具体分析如下：

1. 民事责任：根据《中华人民共和国民法典》相关规定，自然人的人格尊严受法律保护。无端持续侮辱诽谤他人，侵犯了他人的名誉权，受害人有权要求侵权人停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉，并可以要求赔偿损失。
2. 行政责任：依据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条第二项，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。在公共场所无端持续侮辱诽谤他人，且拒不停止，显然符合情节较重的情形，应受到相应的行政处罚。
3. 刑事责任：若侮辱诽谤行为情节严重，如手段恶劣、造成严重后果（如被害人精神失常、自杀等），则可能构成侮辱罪或诽谤罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条，以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。此外，若在公共场所起哄闹事，造成公共场所秩序严重混乱，还可能构成寻衅滋事罪，依据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。