在遭遇他人推搡后还手并致对方住院的情况下，应依法冷静处理，具体步骤如下：
一、立即报警并配合调查

1. 无论事件起因如何，应第一时间报警，详细说明情况，请求警方介入调查。警方将记录事件经过，并开展调查工作，这是后续处理的重要依据。
2. 配合警方调查，如实陈述事实，提供相关证据，如现场监控录像、目击者证言等。
   二、了解并承担法律责任
3. 刑事责任：若对方伤情经鉴定为轻伤及以上，还手行为可能涉嫌故意伤害罪，需承担刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。若正当防卫明显超过必要限度造成重大损害，也可能需承担刑事责任，但通常会减轻或免除处罚。
4. 民事责任：无论是否涉及刑事责任，均需承担对方因受伤而产生的医疗费用等损失的赔偿责任。赔偿范围包括医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。
   三、处理赔偿事宜
5. 在确定责任后，与对方协商赔偿事宜，尽量达成一致。协商过程中保持冷静和理智，避免再次冲突。
6. 若双方无法达成一致，或担心权益受损，可寻求专业法律人士帮助，通过法律途径解决赔偿纠纷。