轻微伤刑事案件年龄不足行政处罚后，可以私下赔偿被害人，但需遵循一定条件和程序。以下是对此问题的详细解答：
一、轻微伤案件的性质与法律基础

1. 轻微伤不构成刑事犯罪：轻微伤通常不构成刑事犯罪，因此不涉及刑事责任的追究。但可能受到《中华人民共和国治安管理处罚法》的约束。
2. 法律基础：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第九条，对于因民间纠纷引起的打架斗殴等违反治安管理行为，情节较轻的，公安机关可以调解处理。这构成了轻微伤案件私下处理的法律基础。
   二、私下赔偿的条件与程序
3. 双方自愿：私下赔偿的前提是双方当事人的完全自愿，任何一方不得被强迫或胁迫接受和解。
4. 合法合规：赔偿内容必须严格遵守法律法规，不得损害国家、集体或第三人的合法权益。
5. 明确赔偿范围：双方需清晰界定赔偿范围，包括医疗费、误工费、护理费等合理费用，并达成一致。
6. 签订书面协议：协商成功后，应签订详细的书面和解协议，明确双方的权利义务及赔偿细节。
7. 履行协议：按照和解协议的约定，双方应诚信履行各自的义务，如按时支付赔偿款。
   三、私下赔偿的注意事项
8. 保留证据：在协商和履行过程中，双方应妥善保存相关证据，以防后续可能出现的争议。
9. 避免反悔：一旦和解协议签订并履行完毕，双方应遵守协议内容，不得随意反悔或变更。
10. 了解法律后果：若一方不履行和解协议或协议存在违法违规情形，另一方有权向公安机关报案或向法院提起诉讼，追究对方的法律责任。