针对非法砍伐古树名木的处罚，主要依据《中华人民共和国刑法》的相关规定。以下是对该问题的详细解答：
一、非法砍伐古树名木的定罪与处罚

1. 根据《中华人民共和国刑法》第三百四十四条，非法采伐、毁坏珍贵树木或者国家重点保护的其他植物的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。此条款明确规定了非法砍伐古树名木（若属于珍贵树木或国家重点保护植物）的刑事责任。
2. 若非法砍伐的树木不属于珍贵树木或国家重点保护植物，但数量较大，则可能触犯《中华人民共和国刑法》第三百四十五条关于盗伐林木罪的规定。根据该条款，盗伐森林或者其他林木，数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数量巨大的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金；数量特别巨大的，处七年以上有期徒刑，并处罚金。
   二、非法砍伐古树名木的构成要件
3. 客体要件：非法砍伐古树名木侵犯的客体是国家的林业管理制度和珍贵树木资源。
4. 客观要件：表现为违反森林法的规定，非法采伐、毁坏珍贵树木或国家重点保护的其他植物的行为。
5. 主体要件：非法砍伐古树名木的主体为一般主体，即任何具有刑事责任能力的人。
6. 主观要件：非法砍伐古树名木在主观方面只能由故意构成，过失不构成此罪。
   三、非法砍伐古树名木的相关法律责任
7. 刑事责任：如上文所述，根据非法砍伐的树木种类和数量，可能面临不同的刑事处罚。
8. 行政责任：非法砍伐古树名木还可能受到林业主管部门的行政处罚，如罚款、责令补种等。
9. 民事责任：若非法砍伐行为导致他人财产损失或人身伤害，还可能承担相应的民事赔偿责任。
   综上所述，非法砍伐古树名木是一种严重的违法行为，不仅可能触犯刑法中的相关规定，还可能受到行政和民事法律的制裁。因此，应严格遵守国家法律法规，保护珍贵树木资源和生态环境。