律师若煽动、教唆当事人采取扰乱公共秩序、危害公共安全等非法手段解决争议，将面临严厉的法律处罚，具体如下：
一、治安管理处罚

1. 扰乱公共秩序：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十三条，扰乱公共场所秩序、公共交通工具秩序等行为，将受到警告、罚款或拘留等处罚。若律师教唆当事人实施此类行为，同样会受到相应处罚。
2. 散布谣言等扰乱公共秩序：依据该法第二十五条，散布谣言、谎报险情等故意扰乱公共秩序的行为，也将受到罚款或拘留的处罚。律师若涉及此类教唆行为，同样难逃法律制裁。
3. 寻衅滋事：根据该法第二十六条，结伙斗殴、追逐拦截他人等寻衅滋事行为，同样会受到罚款或拘留的处罚。律师若教唆当事人实施此类行为，也将受到法律的惩处。
   二、刑事处罚
   若律师的煽动、教唆行为情节严重，构成犯罪，将依法追究刑事责任。例如，若律师教唆当事人实施放火、爆炸等危害公共安全的行为，将可能构成相应的犯罪，面临严厉的刑事处罚。
   三、行业处分
   除了法律处罚外，律师还可能面临行业处分。律师协会将根据相关规定，对违反职业道德和行业规范的律师进行训诫、警告、通报批评、公开谴责、中止会员权利或取消会员资格等处分。