在这种情况下，农民工是否需要赔偿甲方损失需要分情况来看：

    劳动关系层面的考量

   虽然农民工与私人老板没有签订书面劳务合同，但如果形成了事实上的劳务关系。一般来说，提供劳务一方因劳务造成他人损害的，根据《民法典》第一千一百九十二条规定，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方承担侵权责任。接受劳务一方承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的提供劳务一方追偿。

    操作不当属于一般过失

   如果农民工操作不当仅属于一般过失，通常不需要对甲方的损失承担赔偿责任，而应由接受劳务的私人老板向甲方承担赔偿责任。因为在劳务关系中，老板对农民工的工作有管理、指挥和监督的职责，其应该承担一定的经营风险。例如，农民工在使用工具时因为不熟悉新的操作流程而出现小失误导致一定损失，这种情况大概率属于一般过失。

    操作不当属于故意或重大过失

   如果农民工存在故意或者重大过失的操作不当行为，私人老板在向甲方承担赔偿责任后，有权向农民工进行追偿。比如，农民工明知道违规操作会造成严重后果，却依然故意为之；或者是严重违反操作规程，疏忽大意到一个正常理性的人都不会犯这种错误的程度。例如，在施工现场，明明有明确的安全规范要求必须佩戴防护设备并按特定顺序操作机器，但农民工既不佩戴防护设备，又随意更改操作顺序，最终导致重大损失，这就可能被认定为故意或重大过失。

    证据方面的问题

   由于没有签订书面劳务合同，双方在责任认定和损失赔偿问题上可能会存在争议。此时，无论是农民工还是私人老板，都需要收集相关证据来证明自己的主张。比如，农民工可以收集能证明工作内容、工作要求以及老板指挥情况的证据；私人老板则需要收集证明农民工存在故意或重大过失的证据。

   总之，农民工是否需要赔偿甲方损失不能一概而论，要综合操作不当的具体情况、过错程度等多方面因素判断。