根据你描述的情况，原租客确实享有优先续租权，但具体如何处理还需要结合实际情况进行分析。

    优先续租权的法律性质

   优先续租权是指在同等条件下，原承租人享有的优先于其他人续租房屋的权利。这里的“同等条件”主要包括租金、租赁期限、支付方式等主要条款。如果第三人出价更高，原租客要主张优先续租权，也应当在同等的租金价格等条件下才行。

    具体处理建议

   1. 确认合同约定

   你需要查看与原租客签订的房屋租赁合同中是否明确约定了优先续租权以及行使该权利的具体方式和条件。如果合同中有明确约定，那么双方都需要按照合同的约定来执行。

   例如，合同可能约定原租客需要在租赁期限届满前一定时间内书面通知你其行使优先续租权，若未在规定时间内通知，则视为放弃该权利。

   2. 与原租客协商

   你可以和原租客进行沟通，向其说明有第三人愿意以更高价格承租房屋的情况，并要求其在同等条件下决定是否续租。如果原租客不愿意按照更高的租金价格续租，那么其优先续租权在这种情况下可能就无法行使。

   在协商过程中，要注意保留好相关的沟通记录，例如聊天记录、通话录音等，以备后续可能出现的纠纷。

   3. 发送书面通知

   如果与原租客协商无果，你可以向原租客发送书面通知，明确告知其有第三人愿意以更高价格承租房屋，并给予其合理的时间（例如15 - 30天），要求其在该时间内决定是否按照同等条件续租。

   书面通知应当以快递等可查询的方式送达，并保留好送达凭证。通知内容应清晰明确，包括第三人提出的租金价格、租赁期限等主要条件。

   4. 法律途径解决

   如果原租客在收到书面通知后，既不按照同等条件续租，又不愿意搬走，你可以考虑通过法律途径解决。向房屋所在地的人民法院提起诉讼，要求原租客腾退房屋，并支付逾期腾房期间的占有使用费（一般可以参照第三人提出的租金价格计算）。

   在诉讼过程中，你需要提供相关的证据，如房屋租赁合同、与第三人的洽谈记录、书面通知及送达凭证等，以证明你的主张。

   总之，处理此类问题要遵循合同约定和法律规定，通过合理合法的方式维护自己的权益。同时，尽量通过协商解决纠纷，避免矛盾激化。