在这种情况下，你可以按照以下步骤来处理这起买卖合同纠纷：

    沟通协商

   1. 主动联系客户

    - 以平和、专业的态度与客户取得联系，了解他们对背板厚度的具体疑虑和诉求。向客户解释合同中并未对背板厚度作出明确约定，从合同履行的角度说明他们以此为由拒绝支付尾款缺乏合同依据。

    - 例如，你可以说：“您好，我们查看了合同，里面确实没有提及背板厚度的相关内容。您能详细跟我说一下您对背板厚度不满意的点在哪里吗，我们一起看看怎么解决。”

   2. 提供解决方案

    - 如果客户对背板厚度有担忧，你可以提出一些可行的解决方案，如提供相关材质的质量检测报告，证明背板虽然未明确厚度，但质量是符合行业标准或满足使用需求的；或者根据客户的合理要求，协商对背板进行适当的更换或处理，但要明确告知客户这是出于解决问题的善意举措，并不代表你方存在违约行为。

    - 比如：“我们有这款背板的质量检测报告，能证明它的质量是合格的。如果您还是觉得不满意，我们可以考虑给您更换成您期望厚度的背板，但可能需要一些时间和成本，希望您也能理解。”

    收集证据

   1. 合同文本

    - 合同是关键证据，你要确保合同文本完整、清晰，能够证明合同中确实没有关于背板厚度的约定。对合同进行复印或扫描，留存备份。

   2. 交付凭证

    - 收集与橱柜衣柜交付相关的证据，如送货单、签收单等，证明你已经按照合同约定完成了货物的交付，且客户当时并未对背板厚度提出异议。

   3. 沟通记录

    - 保留与客户之间的所有沟通记录，包括电话录音、短信、微信聊天记录等，这些记录可以反映你与客户就背板厚度问题以及尾款支付问题的沟通情况，有助于证明你的积极处理态度和客户拒绝支付尾款的不合理性。

    法律途径

   1. 发送催款函

    - 如果沟通协商无果，你可以委托律师向客户发送催款函。催款函中应明确指出合同约定的付款义务、客户拒绝支付尾款的不合理性，并限定一个合理的付款期限，告知客户若逾期不支付，你将采取进一步的法律措施。

   2. 提起诉讼

    - 如果客户在催款函规定的期限内仍未支付尾款，你可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，你需要向法院提交上述收集的证据，证明你已经履行了合同义务，而客户拒绝支付尾款的行为构成违约。

    - 你可以要求客户支付剩余货款，并按照合同约定或法律规定承担违约责任，如支付逾期付款的利息等。法院会根据双方提供的证据和陈述进行审理，并作出判决。

   在整个处理过程中，要注意保持冷静和理性，通过合法、合理的方式维护自己的权益。